Alguém saberia me dizer se eu usar logos das distros em um site vou ter problemas com copyright?
Raramente.
Para dar esse tipo de problema é preciso que a distro tenha gastado dinheiro registrando a marca e que você viole a política de marca registrada dela (que na maioria esmagadora dos casos é “não associe nosso produto a você, não erre as cores e tudo bem”).
Inclusive, Linux® é oficialmente uma marca registrada do Torvalds, e está no nome desse site sem Dio ser processado.
Por via das dúvidas, se souber inglês, consultar a aba “Legal” ou “Law” do site da distribuição (que geralmente pode ser acessada dando o Google “distro trademark policy”) pode dar uma luz sobre até onde você pode citar a marca.
Exemplos:
Pesquise pelos modelos de licença e veja sob quais licenças as distros que você quer citar, usam.
Em geral, é bem improvável que tenha algum problema.