Utilizo o Discord na minha distro Linux Ubuntu (Zorin OS) e, ao iniciar um jogo na Steam ou na Epic Games, a atividade do jogo não aparece no meu perfil, como acontece no Windows.
É só você ir em “Add it”, selecionar o processo do jogo (Pode ser que esteja com um nome esquisito, você precisa identificar de alguma maneira o correto), então você renomeia para o nome do game correto pra que apareça no teu perfil com a imagem dele.
Muito provavelmente esse Discord aí é flatpak. Ele não tem acesso livre a monitorar os processos do sistema igual tem na versão nativa ou no Windows. Acredito que baixando a versão .deb do site do Discord irá aparecer.
Como foi dito pelo @Kobreq, você instalou a versão dele empacotado em flatpak. Você vai precisar baixar a versão dele em .deb no site do Discord pra conseguir mostrar a atividade do jogo.