Um amigo teve o mesmo problema que eu, o post dele segue abaixo:
Um cara ajudou ele a resolver o problema, mas eu não entendi bulhufas do que fazer. Não sou muito familiarizado com o terminal, mas estou disposto a aprender. Alguém poderia me explicar direito o que fazer nesse caso?
Execute o Lutris via terminal, e envie aqui um printscreen da saída (informações) que o terminal gerar.
Para executar o Lutris via terminal, abra o terminal e execute o comando lutris
Envie um printscreen, e depois avançamos para a próxima etapa.
Certo, agora será necessário você dar um jeito de abrir a pasta de instalação do Overwatch.
No Lutris, busque por algum botão que abra a pasta de instalação do jogo Overwatch.
Após encontrar a pasta onde o jogo está instalado, você precisa acessar este caminho:
drive_c/users/$USER/My Documents/Overwatch/Settings/
Nota: $USER significa apenas o seu usuário.
Na pasta “Settings”, procure pelo arquivo Settings_v0.ini, abra ele com gedit (ou qualquer outro editor de textos de sua preferência).
Altere apenas as linhas GPUDeviceID, GPUName e GPUVendorID, deixando-as com os mesmos valores do exemplo abaixo:
[GPU.6]
GPUDeviceID = "7309"
GPUName = "GeForce GTX 1050"
GPUScaler = "70.000000"
GPUVendorID = "4318"
Salve, feche o documento, e experimente executar o jogo.
Nos diga se funcionou.
Infelizmente está do mesmo jeito. Curiosamente, quando executo o jogo uma vez, fico apenas com uma tela preta, e recebo a mensagem de erro. Caso eu execute pela segunda vez, o cursor do mouse muda (cursor do jogo), mas a tela continua preta. Abrindo o arquivo que você mandou alterar logo em seguida, vejo que o jogo (ou o Battle.net, sei lá), sobrescreveu minhas alterações, e tudo voltou a como estava antes.
Deixe eu ver suas GPUs, para isto, execute este comando:
lspci | grep VGA
Envie um printscreen do resultado.
Deu isso aqui:
00:02.0 VGA compatible controller: Intel Corporation HD Graphics 630 (rev 04)
01:00.0 VGA compatible controller: NVIDIA Corporation GP107M [GeForce GTX 1050 Mobile] (rev a1)
Então experimente estes novos valores para GPUDeviceID , GPUName e GPUVendorID:
[GPU.6]
GPUDeviceID = "22811"
GPUName = "Intel HD Graphics 630"
GPUScaler = "70.000000"
GPUVendorID = "32902"
Salve, feche o documento, e experimente executar o jogo.
E nos diga se funcionou 
Tenho uma GTX1650 e toda vez que instalo / reinstalo tenho esse problema de tela preta, para mim resolve da seguinte maneira.
1- Abre o Lutris
2- Botão direito no Overwatch
3- Configure
4- System Option
5- Marque o box “Show Advanced Options”
6- Em Vulkan ICD Loader coloque “nvidia_icd.json”
7- Salve e abra o jogo
Não foi eu quem descobriu, fui pesquisando, pesquisando e pesquisando até achar essa solução, envim, procurei aqui mas não achei o post original para postar a referência…
Posso tentar, mas usar a placa Intel HD Graphics não iria afetar gravemente meu desempenho?
Cara, no Lutris só me aparece o Launcher Battle.net, o Overwatch não aparece como jogo instalado pra eu poder fazer o procedimento que você sugeriu. Alguma ideia do que fazer nesse caso?
Edit: Resolvi esse problema, daí fiz o que você sugeriu, e deu mesmo certo, joguei o tutorial básico, então suponho que esteja rodando certinho. Valeu mesmo, e obrigado ao @ewertonurias também pelas dicas.
Que bom que ajudou, muito bom o feedback, isso facilita para que outras pessoas com o mesmo problema possam encontrar a solução, como eu um dia encontrei e como vc encontrou hoje. Fico feliz em poder ter ajudado.
edit: Em relação a jogabilidade aqui é 100%, única coisa que ferra é quando vc cai e precisa reconectar, ai demora pra caramba, geralmente quando volta a partida já foi perdida, mas, no geral é excelente.