BTRFS tem várias vantagens e modos de configuração. Claro que isso vem com um custo maior de aprendizado sobre o sistema de arquivos e como operá-lo em toda funcionalidade.
Parece que o problema é que não foi seguido o esquema de instalação do sistema com subvolumes específicos para a partição raiz e para o home. Possivelmente seria possível usar o timeshift para a raiz do sistema apenas, caso ela estivesse em um subvolume nomeado @. Não conheço o timeshift a fundo pra dar mais informações.
Porém se a instalação foi feita em uma partição BTRFS sem subvolumes, então seria semelhante a comprar um carro novo e usar apenas a primeira marcha, funcionar funciona, mas dá pra melhorar bastante! Se o Pop os não fez a instalação em subvolumes teria que fazer manualmente a operação (bem chatinho de fazer…)
Resumo da história: Há limitações ou no Timeshift ou no instalador do PopOS, ou foi realizado o particionamento manual sem subvolumes na instalação. Se houver interesse de aprender mais sobre o assunto tem um post mais completo: Entendendo subvolumes no BTRFS