Evernote não abre no Firefox no modo privado
Testei aqui também. Mesmo efeito. Tentou pelo CHormium ou outro navegador de base Chrome?
Tente ativar em janelas privadas o armazenamento IndexedDB, acesse about:config então pesquise por dom.indexedDB.privateBrowsing.enabled e altere para true
Essa alteração deixaria o Firefox ‘‘menos privado’’??
Com isso ele passara a gravar no disco, e portanto, não será mais privado. Você pode tentar limpar os dados do site posteriormente, mas ainda pode haver vestígios. Mas não se engane com esses modos 
privados dos browsers, a unica coisa que faz é permitir que você navegue sem armazenar localmente seu histórico, senhas, cookies… Sua atividade ainda é visível, por exemplo, pelo seu provedor de Internet, os sites que você visitou entre outros ainda podem ter acesso a informações.
Portanto se o modo normal permite o acesso ao Evernote Web sem problemas, é quase certo que a aplicação utilize-se destes recursos, para seu bom funcionamento.
Cê tem que permitir a extensão de rodar no modo anônimo. Dá uma olhada nisso:
Não estou usando a extensão só a versão web mesmo
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Não seria bloqueio de cookies? Não tenho certeza se o firefox bloqueia todos os cookies no modo anônimo, mas vale conferir nas configurações 