Como foi dito no link, você tem que configurar o login automático, fazer o Hyprland ser iniciado automaticamente e configurá-lo para o Hyprlock subir junto.
Um jeito que não exige nenhum software adicional é configurar login automático no tty1 e iniciar o Hyprland junto do login (note que você deve usar exec Hyprland, ou seja qual for o comando que você usa para iniciá-lo, em vez de exec startx, no código de exemplo).
Outra opção é instalar um DM e seguir as etapas adequadas, que variam de acordo com sua escolha.